PÁGINA COMENZADA EL 20/7/99

¿Qué son los fractales?

Los fractales (lejos de explicaciones puramente matemáticas) son unas ecuaciones sencillas (normalmente) que describen figuras de una complejidad infinita. ¿Qué quiere decir esto? Pues que por mucho que la aumentemos (como si lo vieramos a traves de un microscopio) siguen existiendo detalles que recuerdan a la forma total. Supongo que alguna vez habrás visto alguno. Si no, ve a la galería de imágenes.

A pesar de lo que pudieras pensar, existen muchos tipos de fractales y no sólo el típico conjunto de Mandelbrot o sus derivados. Una de las cosas que caracterizan a los fractales es su irregularidad ordenada (en ciencia, caos ordenado). Más adelante los iremos viendo.

Algo de lo que siempre he tenido curiosidad es sobre la procedencia de la palabra fractal. Pues bien, este nombre se lo dio originariamente Benoit Mandelbrot, un famoso (no tanto como hubiera deseado) matemático. Mandelbrot decidió darles un nombre, pues empezaba a ser necesario. Cogió el libro de latín de su hijo y buscó "romper". De ahí derivó en su adjetivo fractus, que adaptó al vocablo inglés fracture (fractura) y fraction (fracción). Y de ahí surgió la palabra fractal, que es tanto adjetivo como sustantivo. Pero esto no resuelve nuestra duda acerca del origen de la palabra, es decir, por qué buscó algo relacionado con romper, fracturar, fraccionar. Pues bien, si atendemos a la naturaleza gráfica de los fractales, éstos no poseen 1, 2 ó 3 dimensiones, sino dimensiones tales como 1.3, 2.5, 4.3 ...etc. Es decir, poseen dimension fraccionaria. Antes de que te asustes, déjame explicarte lo que esto significa, pues es más sencillo de lo que parece.
Sabemos (o eso espero) que un cubo tiene 3 dimensiones (altura, anchura, profundidad), un plano 2 (altura, anchura), una recta 1 (longitud de la recta) y un punto, por eliminación, no posee dimensión alguna. Estos límites parecen bien definidos, pero veamos ahora la curva de Koch (no te preocupes si no la ves, es que todavía no está ^_^). Pues resulta que este fractal es una línea curva cerrada con muchas arrugas. Por ser cerrada está dentro de un espacio finito (es decir, que puede estar contenida en un círculo, por ejemplo).

Ahora imaginémonos que tenemos que ver lo que mide. Nos ponemos a medirla con una regla de 1 cm. No es difícil darse cuenta de que esta regla es demasiado grande como para dar una medida exacta. Ningún problema, cogemos otra regla más pequeña. El problema está en que por muy pequeña que cojamos la regla, nunca dará una medida exacta del fractal, porque tiene tal cantidad de arrugas y recovecos que ni la regla más pequeña daría una cantidad exacta. Visto de otra forma, si lo midiéramos con la regla de 1 cm, nos daría una cantidad. Con otra de 5 mm nos daría otra mayor. Con otra de 1 mm nos daría otra cantidad aún más grande. Como siempre podemos coger una regla cada vez más pequeña (en la realidad no, pero matemáticamente sí) también tendremos que la medida del fractal es cada vez más grande. CONCLUSIÓN: el fractal mide infinito.

Todo esto fue expuesto por Mandelbrot en un artículo titulado "How Long Is The Coast of Britain?" (¿Qué Longitud Tiene la Costa de Gran Bretaña?), donde, en vez de un fractal, proponía como ejemplo una costa (que por otro lado también posee estructura fractal). Como el lector se puede imaginar, la costa, por mucho que te acerques a ella (vista desde el espacio hasta recorrerla átomo a átomo) siempre vas a encontrar detalles que hacen inexactas las mediciones a gran escala (como en un mapa, por ejemplo). Por esa razón, cualquier costa posee longitud infinita. Curioso, ¿no? De hecho, si no existieran las ecuaciones diferenciales, no podríamos explicar siquiera cómo somos capaces de movernos de un punto a otro (si tenemos que pasar por todos los intermedios, considerados infinitos) o cerrar tan sólo una puerta. Pero bueno, este es otro tema.

¿Qué son los fractales, aparte de figuras muy bonitas? Pues son formas de predecir aproximadamente el comportamiento de un sistema, como pueda serlo el crecimiento demográfico de una especie, o la fluctuación de la bolsa, e incluso la formación de algunos órganos animales o vegetales. Pero nunca (o, al menos, hasta ahora no se ha podido) son capaces de indicar de forma calcada el comportamiento de algo. Esto es así porque lo que muestran son precisamente comportamientos caóticos que no pueden ser predecidos. ¿De qué nos sirven pues? Si aún no te has enterado, vuelve a leer este párrafo. Si sigues sin enterarte te diré que gracias a ellos se han podido crear fórmulas que muestran bastante fielmente comportamientos físicos como el oscilamiento de un molino cuando le cae agua encima (comportamiento caótico que, por cierto, resuelve el atractor de Lorenz), estados umbrales (cuando algo está entre sólido y líquido, por ejemplo) e incluso comportamientos del propio corazón.

Vamos, pues, a aprender más sobre ellos...
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